A Wilson-tétel megfordításának bizonyítása.
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\makebox[3cm]{\dotfill}}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{2.0}
\begin{tetel}
Ha $n>4$ összetett szám, akkor $(n-1)!$ osztható $n$-nel.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tekintsük $n$ prímhatványtényezős felbontását:
$n=p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$.
Célunk az, hogy az $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1)$ szorzatban
találjunk néhány tényezőt, amelyek szorzata $n$, vagy többszöröse $n$-nek.
(Fontos, hogy ezek \emph{különböző} számok legyenek.
Például az $1 \cdot 2 \cdot 3$ szorzatban hiába van ott a $2$ és a $2$ is,
ettől még a szorzat nem lesz osztható $2 \cdot 2$-vel!)
Ha $k\geq2$, azaz $n$-nek legalább két különböző prímosztója van, akkor
a következő $k$ db szám megfelelő lesz:
$\idemitirjak$.
Ezek mind kisebbek $n$-nél (és páronként különbözők), és szorzatuk éppen $n$.
Ha $k=1$, akkor $n=p_1^{e_1}$, vagyis $n$ prímhatvány.
A jelölést egyszerűsítendő, lehagyjuk az indexeket: $n=p^e$.
Ekkor $e \geq 2$, mert $n$ $\idemitirjak$.
Vizsgáljuk külön az $e \geq 3$ és $e = 2$ eseteket.
Ha $e \geq 3$, akkor tekintsük a következő két számot:
$\idemitirjak$.
Ez két különböző szám, mindkettő kisebb $n$-nél,
és szorzatuk éppen $n$.
Ha $e = 2$, azaz $n = p^2$, akkor a fenti gondolatmenet nem működik,
mert ekkor fent megadott két szám egyenlő.
Mivel $\idemitirjak$, a $p$ prímszám legalább $3$,
és emiatt a következő két szám megfelelő lesz:
$\idemitirjak$.
Ez két különböző szám, szorzatuk $2n$, és
$p \geq 3$ miatt mindkettő kisebb, mint $n$.
\end{proof}
A fentieket Wilson tételével összekapcsolva a következőt
kapjuk tetszőleges $n \geq 2$ természetes számra:%
\[
(n-1) ! \equiv
\begin{cases}
-1, & \text{ha } n \text{ prímszám}\\
0, & \text{ha } n \neq 4 \text{ összetett szám}\\
2, & \text{ha } n = 4
\end{cases}
\pmod n.
\]
\end{document}