En esta práctica se utilizarán conocimientos de cinemática para encontrar el valor de la aceleración gravitacional, por medio de dos experimentos diferentes, uno que involucra la caída libre y el otro involucra un péndulo, además, se estimará la confianza y validez de los resultados.
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\pretitle{\vspace{-30pt} \begin{flushleft} \HorRule
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}
\title{Estimaci\'on de la gravedad mediante m\'etodos experimentales.} % Title of your article goes here
\posttitle{\par\end{flushleft}\vskip 0.5em}
\preauthor{\begin{flushleft}
\large \lineskip 0.5em \usefont{OT1}{phv}{b}{sl} \color{DarkRed}}
\author{Padilla Robles Emiliano, Gonz\'alez Amador Mar\'ia Fernanda, Cabrera Segoviano Diego } % Author name goes here
\postauthor{\footnotesize \usefont{OT1}{phv}{m}{sl} \color{Black}
$^{\dagger}$UMDI-Juriquilla, UNAM % Institution of author
\par\end{flushleft}\HorRule}
\date{} % No date
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\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy} % Enabling the custom headers/footers for the first page
% The first character should be within \initial{}
\initial{E}\textbf{n esta pr\'actica se utilizar\'an conocimientos de cinem\'atica para encontrar el valor de la aceleraci\'on gravitacional, por medio de dos experimentos diferentes, uno que involucra la ca\'ida libre y el otro involucra un p\'endulo, adem\'as, se estimar\'a la confianza y validez de los resultados}\\\\
\section{\label{sec:level2}Introducci\'on}
\textcolor{black}{Se utilizar\'an dos experimentos diferentes para estimar el valor de la gravedad, definiendo as\'i cual es el m\'etodo m\'as efectivo y el que tenga un margen de error menor.\\\\
En el experimento 1 se utilizar\a la ca\'ida libre como m\'etodo para determinar la gravedad, midiendo el tiempo de ca\'ida, la altura de donde se deja caer el objeto y la masa de \'este. Se utilizar\'a la f\'ormula:\\
\begin{equation}
h=(1/2)gt^2
\end{equation}
\\La cual, despejando a la gravedad, resulta en:
\begin{equation}
g=2h/t^2
\end{equation}
Utilizando esta f\'ormula para encontrar la gravedad, se realizar\'an varias repeticiones de ca\'idas libres, con diferentes alturas (3 alturas diferentes). \'Este proceso se realizar\'a con 2 pelotas diferentes para ver si existe alguna diferencia por usar diferentes masas. Los resultados obtenidos se promediar\'an y se espera obtener una aceleraci\'on similar a la gravedad.\\\\
En el experimento 2 se utilizar\'a un p\'endulo y se usar\'a la f\'ormula:\\
\begin{equation}
t= 2pi(\sqrt{l/g})
\end{equation}
En la que se despeja la gravedad, resultando en:
\begin{equation}
g=(l4pi^2)/t^2
\end{equation}
Para el p\'endulo se utiliza una masa colgada de un punto fijo con una cuerda de longitud conocida, se usar\'an longitudes diferentes de la cuerda para ver si afecta al valor resultante de la gravedad. La masa se dejar\'a caer a un cierto \'angulo con la vertical y se contar\'a el tiempo que dura el p\'endulo en hacer un n\'umero de oscilaciones. Al final los resultados se promediar\'an al igual que en el experimento 1, esperando obtener una aceleraci\'on igual a la gravedad.}
\section{Marco te\'orico}
GRAVEDAD:\\
El valor de la gravedad en la superficie de un planeta viene caracterizado por su masa y radio. La podemos calcular utilizando la ley de interacci\'on gravitatoria de Newton, que indica que la fuerza sobre un cuerpo de masa m, en la superficie de un planeta de masa M y radio R vendr\'a dada por:
\begin{equation}
\frac{mMG}{R^2}= g
\label{eq:ec2G}
\end{equation}
donde $G=6.67⋅10-11 N m^2 /kg^2 $es la constante de gravitaci\'on universal. Esta fuerza supondr\'a una aceleraci\'on en el cuerpo, cuyo valor vendr\'a dado por: $F=(a)(m)$ que resulta ser la aceleraci\'on de la gravedad.
CAÍDA LIBRE:\\
Es el movimiento de un cuerpo bajo la acci\'on exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definici\'on formal excluye a todas las ca\'idas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodin\'amica del aire, as\'i como a cualquier otra que tenga lugar en el $sen$ de un fluido, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables, sin embargo en condiciones ideales, la aceleraci\'on que adquirir\'ia el cuerpo ser\'ia debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dej\'aramos caer una bala de cañ\'on y una pluma en el vac\'io, ambos adquirir\'ian la misma aceleraci\'on, $g$, que es la aceleraci\'on de la gravedad.
P\'ENDULO SIMPLE:\\
Tambi\'en llamado p\'endulo matem\'atico o p\'endulo ideal, es un sistema idealizado constituido por una part\'icula de masa $m$ que est\'a suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realizaci\'on pr\'actica de un p\'endulo simple, pero si es accesible a la teor\'ia.
Si consideramos tan s\'olo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el \'angulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del $sen\theta$ ser\'a muy pr\'oximo al valor de $\theta$ expresado en radianes ($sen\theta = \theta$, para $\theta$ suficientemente pequeño), entonces la ec. dif. del movimiento se reduce a:
\begin{equation}
(L)(\theta)+(g\theta)=0
\end{equation}
Que es id\'entica a la ec. dif. correspondiente al movimiento angular en lugar de al movimiento rectil\'ineo, cuya soluci\'on es:
\begin{equation}
\Theta sin(\omega t + \phi) = \theta
\end{equation}
Siendo $\omega$ la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual se determina el per\'iodo de las mismas:
\begin{equation}
\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}
\end{equation}
por lo tanto:
\begin{equation}
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\end{equation}
\section{Desarrollo experimental}
Se sabe que el m\'etodo de la ca\'ida libre usado en el experimento 1 es menos efectivo comparado con el m\'etodo del p\'endulo usado en el experimento dos, por lo que el resultado de la aceleraci\'on obtenida debe diferir de la aceleraci\'on de la gravedad por una mayor cantidad que el resultado obtenido en el experimento 2.\\
EXPERIMENTO 1\\
Como ya se mecion\'o, en el experimento 1 se utiliz\'o la ca\'ida libre como m\'etodo para determinar la gravedad, midiendo el tiempo de ca\'ida, la altura de donde se deja caer el objeto y la masa de \'este. Se utiliz\'o la f\'ormula $h=(1/2)gt^2$ (1) y se despej\'o g, resultando en $g= 2h/t^2(2)$ (2).
Utilizando esta f\'ormula para encontrar la gravedad, realizamos 450 repeticiones de ca\'idas libres (150 repeticiones por cada una de las 3 alturas utilizadas) para que los datos fueran m\'as precisos, ya que usando pocos datos los resultados hubieran sido menos acertados. Este proceso se realiz\'o con 2 pelotas diferentes, resultando en un total 900 repeticiones de caída libre para determinar la gravedad.\\
Para obtener el margen de error de la gravedad, utilizamos derivadas parciales en la f\'ormula de la gravedad, resultando en la siguiente ecuaci\'on:
\begin{equation}
(derivada parcial ec.)
\end{equation}
Al final se promediaron los 900 datos y se obtuvo una aceleraci\'on similar a la gravedad con un margen de error pequeño.\\\\
EXPERIMENTO 2\\
Como ya ha sido mencionado con anterioridad, se utiliz\'o un p\'endulo y la f\'ormula $t= 2pi(sqrt(l/g))$ (3), la cual, si se despeja la gravedad, resulta en $g=(4lpi^2)/t^2$ (4).
Para el p\'endulo se utilizó una masa colgada (plomada) de un punto fijo con una cuerda con una longitud conocida. Puesto a que el m\'etodo se realiz\'o con diferentes longitudes de cuerda, el procedimiento tuvo que ser utilizado al menos una vez por cada longitud de cuerda diferente. La masa usada se soltaba a una cierta inclinaci\'on con la vertical, la cual era decidida por el equipo, y se utiliz\'o la misma masa para todas las repeticiones (Se hicieron varias repeticiones por cada longitud. Tambi\'en se midi\'o el tiempo en que la masa daba una cierta cantidad de oscilaciones.
Para encontrar la incertidumbre de la gravedad, se utiliz\'o el mismo m\'etodo que fue usado en el experimento 1, el cual es obtener la derivada parcial de la gravedad de la f\'ormula usada para realizar \'este experimento (4). La derivada parcial de la gravedad en \'este caso es:
\begin{equation}
(Derivada parcial de la gravedad)
\end{equation}
\section{\label{sec:level2}Resultados}
A continuaci\'on se presentan los datos recolectados por los siguientes equipos y se explican sus diferentes variaciones:
CAÍDA LIBRE\\
Equipo 1:\\
Diego Cabrera, Emiliano, Mar\'ia Fernanda
\begin{itemize}
\item Alturas: 0.98m, 2.6m, 1.45m
\item Repeticiones por tiempo: 1
\item Dt: 0.02s
\item Datos por experimento: 300
\item Datos totales: 900
\end{itemize}
Equipo 2:\\
Andrea, Gisela, Jessica
\begin{itemize}
\item Alturas: 1m, 1.5m
\item Repeticiones por tiempo: 1
\item Dt: 0.02s
\item Datos por experimento: 200
\item Datos totales: 400
\end{itemize}
P\'ENDULO\\
Equipo 3:\\
Axel, Carolina, Ivonne
\begin{itemize}
\item Longitudes: 0.3m, 0.2m, 0.1m
\item Repeticiones por tiempo: 1
\item Dt: 0.02s
\item Datos por experimento: 30
\item Datos totales: 90
\end{itemize}
Equipo 4:\\
German, Juan, Marco, Miriam
\begin{itemize}
\item Longitudes: 0.75m, 0.5m, 0.25m
\item Repeticiones por tiempo: 1
\item Dt: 0.02s
\item Datos por experimento: 30
\item Datos totales: 90
\end{itemize}
Equipo 5:\\
Arturo, Bernardo, Diego H.
\begin{itemize}
\item Longitudes: 0.47m, 0.1m
\item Repeticiones por tiempo: 1, 3 y 3, 5
\item Dt: 0.02s, 0.006s y 0.006s, 0.004s
\item Datos por experimento: 100
\item Datos totales: 400
\end{itemize}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq1h89.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con altura .89m. Equipo 1.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq1h26.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con altura 2.6m.Equipo 1.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq1h14.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con altura 1.45m.Equipo 1.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq2h1.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con altura 1m.Equipo 2.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq2h15.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con altura 1.5m.Equipo 2.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq3l1.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .1m.Equipo 3.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq3l2.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .2m.Equipo 3.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq3l3.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .3m.Equipo 3.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq4l25.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .25m.Equipo 4.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq4l5.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .5m.Equipo 4.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq4l75.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .75m.Equipo 4.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq5l1.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .1m.Equipo 5.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{eq5l47.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la gravedad con hilo de longitud .47m.Equipo 5.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\section{\label{sec:level2}Discusiones}
\begin{itemize}
\item Los equipos que presentan una mayor incertidumbre en sus datos son los de tiro libre, esto se atribuye a que por la superficie de las pelotas la viscosidad del aire juega un papel importante en la velocidad de ca\'ida, tambi\'en a que como no se le agrego una fuerza en el lanzamiento para no intervenir con una velocidad inicial diferente de cero la pelota no generaba botes lo que evitaba que se pudiera disminuir el dt como se realiz\'o en el experimento del p\'endulo simple, al tomar un tiempo por ca\'ida la variabilidad de los datos incrementa haciendo que se encuentre un mayor rango de tiempos experimentales, incrementando el valor de dg.
\item La gr\'afica de gravedades nos muestra que los valores m\'as cercanos a los reales se obtuvieron por el equipo 4, el cual logro la m\'axima disminuci\'on de dt, sin embargo al observar su gr\'afica de forma particular no se encuentran comportamientos Gaussianos debido a que la muestra de datos que tomaron no era significativa e hicieron falta un mayor n\\umero de repeticiones.
\item La gr\'afica del equipo 5 nos presenta un comportamiento interesante, debido a que se graficaron de manera separada el tiempo de cada 3, 1, y 5 oscilaciones adem\'as de la resultante y claramente nos muestra como los comportamientos de las gr\'aficas incrementan su precisi\'on y nos dan patrones m\'as limpios cuando disminuimos nuestro dt (clara diferencia en la gr\'afica de l=0.47m comparando 3 a 5 oscilaciones) y aumentamos la cantidad de repeticiones.
\end{itemize}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{Gravedad_General.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica con los resultados de los valores de gravedad de todos los equipos.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{difgrav.png}
\caption{\textcolor{red}{Gr\'afica de la diferencia de gravedad de todos los equipos.}}
\label{fig:gra1}
\end{figure}
\section{\label{sec:level2}Conclusiones}
El m\'etodo del p\'endulo simple sin duda nos muestra una mayor precisi\'on y aun as\'i ambos experimentos tuvieron rangos de error muy elevados debido a lo simples que se presentan pues como sabemos de la segunda ley de Newton la masa por la aceleraci\'on es igual a la fuerza total, sin embargo ser\'ia incorrecto pensar que en dichos experimentos la fuerza de gravedad es la \'unica involucrada, por lo que la aceleraci\'on encontrada no ser\'ia igual a nuestra g te\'orica. Tambi\'en es importante reconocer que en experimentos tan inexactos es necesario hacer un mayor n\'umero de pruebas y disminuir lo m\'as posible nuestras diferenciales.
\end{document}