DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES
Autor
YAMID
Letzte Aktualisierung
vor 11 Jahren
Lizenz
Creative Commons CC BY 4.0
Abstrakt
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES
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\title{DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES}
\author{YAMID FERNANDO RIVERA APONTE}
\begin{document}
\date{23 de abril de 2014}
\maketitle
PROFESOR: OMAR DANIEL PALACIOS.
CURSO: CALCULO DIFERENCIAL
\section{Teorema del limite de composicion de funciones.}
Si $\lim_{x\to c} g(x)=L
$
y si $f$ es continua en L, entonces
$$\lim_{ x\to c} f(g(x))=f(\lim_{ x\to c} g(x))=f(L)
$$
En particular, si g es continua en c y $f$ es continua en g(c), entonces la composicion $f$ $\circ$ g es continua en c.
\section{Demostracion}
Sea $\epsilon$ $>$ 0 dado.Como $f$ es continuan en L existe un d1 $>$0 correspondiente, tal que
$$\mid t - L \mid < \delta_{1} \Longrightarrow \mid f(t)-f(L)\mid < \epsilon
$$
y asi
$$ g(x)-L < \delta_{1} \Longrightarrow \mid f(g(x))- f(L) \mid <\epsilon
$$
Pero ya que $\lim_{x\to c} g(x)=L$,para un $\delta_{1}>0$ dado existe un correspondiente $\delta_{2}>0$ tal que
$$0< \mid x-c\mid < \delta_{2} \Longrightarrow \mid g(x)-L \mid < \delta_{1}
$$
cuando reunimos estos dos hechos, tenemos
$$0 < \mid x - c \mid < \delta_{2} \Longrightarrow \mid f(g(x))- f(L) < \epsilon
$$
Esto demuestra que
$$\lim_{x\to c} f(g(x))= f(L)
$$
La segunda proposicion del teorema se deduce de la obsevacion de que si g es continua en c entonces L=g(c)
\end{document}