Modelo Lista com gabarito
Autor
germano
Letzte Aktualisierung
vor 8 Jahren
Lizenz
Creative Commons CC BY 4.0
Abstrakt
Lista de exercício com gabarito
Lista de exercício com gabarito
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\begin{document}
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\begin{center}
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{
\begin{minipage}[c]{15cm}{
\vspace{0.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{ufu_grande.eps} \hspace{0.3cm} \LARGE{\bf Universidade Federal de Uberlândia}\\
{\small \textbf{Disciplina}: Cálculo Numérico (GES014) \hspace{0.1cm} \textbf{Estatística} } \hspace{0.1 cm}\\ \small{\textbf{Prof}.: Germano Abud}\\
\small{$1^{a}$ Lista de Exercícios - 18/08/2016}\\
\vspace{0.3 cm}
\small{Representação de números. Aritmética de ponto flutuante. Erros.}\\
\end{center}}
\end{minipage}}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
[
\begin{center}
\section*{Exercícios Gerais}
\end{center}
]
\ex{1} Considere o sistema $F(10,4,4,4)$. Represente neste sistema os números reais $x_1=4321.24$, $x_2=-0.0013523$, $x_3=125.64$, $x_4=57481.23$ e $x_5=0.00034$.
\ex{2} Represente no sistema $F(10,3,1,3)$ os números do exercício anterior.
\ex{3} Considere que os números $x_1=34$, $x_2=0.125$ e $x_3=33.023$ escritos na base $10$. Escreva-os na base $2$.
\ex{4} Considere que os números $x_1=110111$, $x_2=0.01011$ e $x_3=11.0101$ escritos na base $2$. Escreva-os na base $10$.
\ex{5} Considere que os números $x_1=33$, $x_2=0.132$ e $x_3=32.013$ escritos na base $4$. Escreva-os na base $5$.
\ex{6} Considere o sistema $F(3,3,2,1)$.
\begin{description}
\item[a)] Quantos e quais números podemos representar neste sistema?
\item[b)] Represente neste sistema os números reais $x_1=(0.40)_{10}$ e $x_2=(2.8)_{10}$.
\end{description}
\ex{7} Considere o sistema $F(2,5,3,1)$.
\begin{description}
\item[a)] Quantos números podemos representar neste sistema?
\item[b)] Qual o maior número real na base $10$ que podemos representar neste sistema (sem arredondar)?
\end{description}
\ex{8} Considere um sistema de ponto flutuante $F(b,n,e_1,e_2)$. Responda, justificando corretamente:
\begin{description}
\item[a)] Qual o menor número (em módulo) que pode ser representado neste sistema? E o maior?
\item[b)] Qual o número de mantissas possíveis?
\item[c)] Mostre que o número de pontos flutuantes possíveis é dado por $$\sharp F=2(b-1)b^{n-1}(e_2-e_1+1)+1$$
\item[d)] É possível existir um sistema de ponto flutuante $F(b,2,-2,5)$ com $37$ elementos? Justifique.
\end{description}
\ex{9} Que soluções admite a equação $1+x=1$ num computador onde $F=F(10,10,-99,99)?$
\ex{10} Considere um sistema de ponto flutuante $F(10,4,-5,5)$. Pede-se:
\begin{description}
\item[a)] Qual o maior número representado neste sistema? E o menor?
\item[b)] Como será representado o número $85.339$ nesta máquina se for usado arredondamento? E se for usado truncamento?
\item[c)] Qual o resultado da seguinte operação neste sistema:$$S=42450+\sum_{n=1}^{10} 3 ?$$
\item[d)] E o resultado de $$S=\sum_{n=1}^{10}3+42450 ?$$
\item[e)] O que podemos concluir dos itens (c) e (d) ?
\end{description}
\ex{11} Dê exemplo de um sistema de ponto flutuante em que não valha a propriedade associativa da adição, isto é, pode ocorrer $(y+z)+w\neq y+(z+w)$.
\ex{12} Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla (cada variável será representada com o dobro de dígitos na mantissa). Dados os números $x=0.7237\times 10^4,\quad y=0.2145\times 10^{-3}$ e $z=0.2585\times 10^1$, efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que $x,y,z$ estão exatamente representados:
\begin{description}
\item[a)] $x+y+z$
\item[b)] $x-y-z$
\item[c)] $\dfrac{x}{y}$
\item[d)] $\dfrac{xy}{z}$
\end{description}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
[
\begin{center}
\section*{Gabarito}
\end{center}
]
\gab{1} $x_1=0.4321\times10^4,$ \\$x_2=-0.1352\times 10^{-2},$ \\$ x_3=0.1256\times 10^3,$\\ $ x_4\mbox{( overflow )},$ \\ $x_5=0.3400\times10^{-3}$.\\
\gab{2} $x_1\mbox{( overflow )},$ \\$x_2\mbox{( underflow )},$ \\$ x_3=0.125\times 10^3,$\\ $ x_4\mbox{( overflow )},$ \\ $x_5\mbox{( underflow )}$.\\
\gab{3} $x_1=(100010)_2,x_2=(0.0010)_2$,\\ $x_3=(100001.00111\ldots )_2$\\
\gab{4} $x_1=(55)_{10},x_2=(0.34375)_{10},x_3=(3.3125 )_{10}$\\
\gab{5} $x_1=(30)_{5},x_2=(0.2132\ldots )_{5},$\\ $x_3=(24.02331\ldots )_{5}$\\
\gab{6} \begin{description}
\item[a)] $145$ números. As formas da mantissa são: $0.100,0.101,0.102,0.110,0.112,0.120,0.121,$ $0.122,0.200,0.201,0.202,0.210,0.211,0.212,$ $0.220,0.221,0.222.$\\
As formas de $\beta^e$ são: $3^{-2},3^{-1},3^0,3^1.$
\item[b)] $x_1=0.101\times 3^0$, $x_2=0.221\times 3^1$
\end{description}
\gab{7} \begin{description}
\item[a)] $161$ números.
\item[b)] $(1.9375)_ {10}$
\end{description}
\gab{8} \\
\gab{9}
\\
\gab{10} \begin{description}
\item[a)] $m=0.1000\times 10^{-5}=10^{-6}$ e $M=0.9999\times 10^5=99990$
\item[b)] arredondamento: $0.8534\times 10^2$.\\
truncamento: $0.8533\times 10^2$
\item[c)] $S=0.4245\times 10^5$
\item[d)] $S=0.4248\times 10^5$
\item[e)] Em geral, em sistemas de ponto flutuante, a soma não é comutativa. No item $(d)$ o resultado foi mais preciso. Observe que, no item (d) o arredondamento ocorre apenas na última operação.
\end{description}
\gab{11}
\\
\gab{12}
\end{multicols}
\end{document}