Experimentalphysik 5: Kern- und Teilchenphysik
\begin
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\newcommand{\carb}[1]{^{#1}\mathrm{C}}
\newcommand{\tritium}{_1^3\mathrm{H}}
\newcommand{\helium}{_2^3\mathrm{He}}
\newcommand{\polonium}{^{210}_{84}\mathrm{Po}}
\newcommand{\lead}{^{206}_{82}\mathrm{Pb}}
\DeclareSIUnit\year{a}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{E5: Kern- und Teilchenphysik}
\rhead{Übungsblatt 3}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Altersbestimmung mit der Radiocarbon ($\carb{14}$) Methode (Staatsexamenaufgabe)}\\
Nach einer chemischen Analyse enthält ein Holzsplitter eines archäologischen Fundes $\SI{1.2}{\gram}$ Kohlenstoff. Mit einem Zählrohr registriert man $\num{845}$ Zerfälle/Stunde. Ziel dieser Aufgabe ist es, das Alter des Holzsplitters zu bestimmten.
\begin{enumerate}
\item Stellen Sie die Differntialgleichung für den radioaktiven Zerfall auf und leiten Sie das radioaktive Zerfallsgesetz her.\\
\begin{align*}
\dv{N}{t}&\sim N\\
\Rightarrow \dd{N} &= -\lambda N \dd{t}\\
\frac{1}{N}\dd{N} &= -\lambda \dd{t}\\
\ln{N}&=-\lambda t + c\\
\Rightarrow N &= e^{-\lambda t + c}
\end{align*}
mit Anfangsbedingungen
\begin{align*}
N(0) &= N_0 = e^{-\lambda 0 + c}\\
&= e^c\\
&\Rightarrow N(t)=N_0 e^{-\lambda t}
\end{align*}
\item Gewinnen Sie daraus den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten $\lambda$ und der Halbwertszeit $t_{1/2}$.\\
\begin{align*}
N(t_{1/2})&=\frac{1}{2}N_0=N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}\\
&\Rightarrow \ln{\frac{1}{2}}=-\lambda t_{1/2}\\
&\Rightarrow \lambda = \frac{\ln{2}}{t_{1/2}}
\end{align*}
\item Erklären Sie in Worten das Prinzip der $\carb{14}$-Methode
\begin{itemize}
\item in abgestorbenen Organismen nimmt die Menge an gebundenen $\carb{14}$ gemäß dem Zerfallsgesetz ab, da kein neuer Kohlenstoff aus der Umgebung aufgenommen wird
\item unter Berücksichtigung des ursprünglichen Verhältnisses von $\frac{\carb{14}}{\carb{12}}$ kann über die Radioaktivität auf das Alter geschlossen werden
\end{itemize}
\item Berechnen Sie die Anzahl der $\carb{12}$-Atome im Splitter. Berechnen Sie dann die beim Absterben des Baumes im Holzsplitter vorhandene Anzahl von $\carb{14}$-Atomen und deren Anzahl heute bei der Untersuchung mit dem Zählrohr sowie das Alter des Holzsplitters.\\
\begin{align*}
N^{\carb{12}}(t_0)&\approx\SI{1.2}{\gram}\frac{\SI{6.022e23}{\per\mole}}{\SI{12}{\gram\per\mole}}=\num{6.022e22}=N_0^{\carb{12}}\\
N_0^{\carb{14}}&=\frac{N_0^{\carb{12}}}{\num{7.85e11}}=\num{7.671e10}\\
\dv{N(t)}{t}&=-\lambda N(t)=-\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -A(t)\\
&\Leftrightarrow -\lambda t = \ln(\frac{A(t)}{\lambda N_0})\\
&\Leftrightarrow t = -\ln(\frac{A(t)}{\lambda N_0})\frac{1}{\lambda}=-\ln(\frac{A(t)\cdot t_{1/2}}{\ln{2} \cdot N_0})\frac{t_{1/2}}{\ln{2}}=\SI{1868}{a}
\end{align*}
\end{enumerate}
\pagebreak
\item \textbf{$\beta$-Zerfall des Tritiums}\\
Tritium $\tritium$ ist mit $B(\tritium)=\SI{8.4818}{\mega\electronvolt}$ stärker gebunden als $\helium$ mit $B(\helium)=\SI{7.7181}{\mega\electronvolt}$
\begin{enumerate}
\item Wieso kann $\tritium$ trotzdem durch $\beta$-Zerfall in $\helium$ übergehen?\\
Zerfall:
\begin{align*}
\tritium \longrightarrow \helium^+ + e^- + \overline{\nu_e}
\end{align*}
\begin{align*}
\mathcal{M}(\tritium) &= m_p + 2 m_n - \frac{B(\tritium)}{c^2}\\
\mathcal{M}(\helium) &= 2 m_p + m_n - \frac{B(\helium)}{c^2}\\
\Delta E &= \frac{\mathcal{M}(\tritium) - \mathcal{M}(\helium) - m_e}{c^2}=\SI{18.6}{\kilo\electronvolt} > 0
\end{align*}
Da Neutronen schwerer als Protonen sind, wird insgesamt Energie frei, so dass der Zerfall stattfinden kann.
\item \label{2b} Bestimmen Sie die $\beta$-Grenzenergie $E_0$ und die maximale Rückstoßenergie von $\helium$ für den Fall einer verschwindenden Neutrinomasse $m_{\nu}=0$! Wieso können Sie hier nicht-relativistisch rechnen? (Lösung: $E_0 = \SI{18.6}{\kilo\electronvolt}$, $E(\helium)=\SI{3.3}{\electronvolt}$)\\
Im Grenzfall geht die ganze im Zerfall entstandene Energie an das Elektron:
\begin{align*}
E_0 &= \Delta E - E_{\mathrm{kin,He}}
\end{align*}
Es ist gerechtfertigt nicht-relativistisch zu rechnen, da: $E_0 < \Delta E \ll m_{\beta} c^2$\\
Rückstoß:
\begin{align*}
p_{\beta} &= p_{\mathrm{He}}\\
m_{\beta} v_{\beta} &= m_{\mathrm{He}} v_{\mathrm{He}}\\
\Rightarrow v_{\mathrm{He}} &= \frac{m_{\beta} v_{\beta}}{m_{\mathrm{He}}}\\
\Delta E &= E_{\mathrm{kin,}\beta} + E_{\mathrm{kin,He}} = \frac{1}{2} m_{\beta} v_{\beta}^2 + \frac{1}{2} m_{\mathrm{He}} v_{\mathrm{He}}^2\\
&= \frac{1}{2} m_{\beta} v_{\beta}^2 + \frac{1}{2} m_{\mathrm{He}} \qty(\frac{m_{\beta} v_{\beta}}{m_{\mathrm{He}}})^2\\
&= E_0 + E_0 \cdot \frac{m_{\beta}}{m_{\mathrm{He}}}\\
E_0 &= \Delta E \underbrace{\qty(\frac{1}{1+\frac{m_{\beta}}{m_{\mathrm{He}}}})}_{=\num{0.999863}}\approx \SI{18.597}{\kilo\electronvolt}\\
E_{\mathrm{kin,He}} &= E_0 - \Delta E \approx \SI{3}{\electronvolt}
\end{align*}
\item Wie ändert sich $E_0$, wenn das Elektronneutrino $\nu_e$ eine Masse $m_{\nu} > 0$ hat?\\
$m_{\nu} \neq 0$:\qquad $E_0 = E_0 - E_{\nu} = E_0 - m_{\nu}c^2$
\end{enumerate}
\item \textbf{$\alpha$-Zerfall von $\polonium$}
\begin{enumerate}
\item Brechnen Sie die beim Zerfall frei werdende Energie $Q_{\alpha}$
\begin{align*}
Q_{\alpha} &= \qty(\mathcal{M}(\polonium) - 84 m_e-\qty(\mathcal{M}(\lead)-82m_e)-\qty(\mathcal{M}(^4_2\mathrm{He})-2m_e))c^2=\SI{5.407}{\mega\electronvolt}
\end{align*}
\item Wie groß ist die kinetische Energie des $\alpha$-Teilchen unter Berücksichtigung des Kernrückstoßes?\\
Unter Berücksichtigung von \ref{2b}:
\begin{align*}
E_{\mathrm{kin,}\alpha} &= Q_{\alpha} \qty(\frac{1}{1+\frac{m_{\alpha}}{m_{\mathrm{Pb}}}})=\SI{5.304}{\mega\electronvolt}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}